knowledge_vault/дискретная математика/Комбинаторика.md

Раздел дискретной математики, изучающий способы подсчета и перебора комбинаторных объектов.

Комбинаторный объект - элемент некоторого конечного множества обладающий определенными свойствами. В большинстве случаев состоит из отдельных элементов (составных частей).

Множество комбинаторных объектов может быть задано описанием их свойств либо алгоритмом их построения.

1. Принцип сложения Если все множество комбинаторных объектов C можно разбить на два непересекающихся подмножества A и B (иными словами, есть два )

Комбинаторные комбинации

Повторные выборки

A=\{a_1,\ ...,\ a_n\} - множество некоторых элементов Множество конечно, все элементы различны. Выборка - элементарная операция, выбор одного элемента из A. Повторная выборка - это выполненная k разб опрерация выборки, то есть выбор k элементов из множества A. Для повторной выборки необходимо утонить два условия:

1. Возвращаются ли элементы обратно в A после того, как будут выбраны.
2. Важен ли порядок выбора элементов. Получаем 4 варианта повторных выборок, которые называются комбинаторными операциями

Комбинаторные операции

Повторные операции

повторные выборки с учетом порядка размещения:

1. Размещения без повторения: A^k_n=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!} Частный случай - размещение без повторения всех n элементов. По сути просто задает определенный порядок элементов. Называется перестановкой. P_n=A^n_n=\frac{n!}{(n-n)!}=n!
2. Размещение с повторением A^k_{(n)}=n^k
3. Сочетание без повторения C^k_n=\frac{A^k_n}{P_k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}
4. Сочетания с повторением C^k_{(n)}=C^k_{n-k-1}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k}