35 lines
2.7 KiB
Markdown
35 lines
2.7 KiB
Markdown
Раздел дискретной математики, изучающий способы подсчета и перебора комбинаторных объектов.
|
||
|
||
Комбинаторный объект - элемент некоторого конечного множества обладающий определенными свойствами. В большинстве случаев состоит из отдельных элементов (составных частей).
|
||
|
||
Множество комбинаторных объектов может быть задано описанием их свойств либо алгоритмом их построения.
|
||
|
||
1. Принцип сложения
|
||
Если все множество комбинаторных объектов C можно разбить на два непересекающихся подмножества A и B (иными словами, есть два )
|
||
|
||
## Комбинаторные комбинации
|
||
|
||
#### Повторные выборки
|
||
$A=\{a_1,\ ...,\ a_n\}$ - множество некоторых элементов Множество конечно, все элементы различны.
|
||
Выборка - элементарная операция, выбор одного элемента из A.
|
||
Повторная выборка - это выполненная k разб опрерация выборки, то есть выбор k элементов из множества A.
|
||
Для повторной выборки необходимо утонить два условия:
|
||
1. Возвращаются ли элементы обратно в A после того, как будут выбраны.
|
||
2. Важен ли порядок выбора элементов.
|
||
Получаем 4 варианта повторных выборок, которые называются комбинаторными операциями
|
||
|
||
### Комбинаторные операции
|
||
|
||
#### Повторные операции
|
||
повторные выборки с учетом порядка размещения:
|
||
1. Размещения без повторения:
|
||
$A^k_n=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$
|
||
Частный случай - размещение без повторения всех n элементов. По сути просто задает определенный порядок элементов. Называется перестановкой.
|
||
$P_n=A^n_n=\frac{n!}{(n-n)!}=n!$
|
||
2. Размещение с повторением
|
||
$A^k_{(n)}=n^k$
|
||
3. Сочетание без повторения
|
||
$C^k_n=\frac{A^k_n}{P_k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}$
|
||
4. Сочетания с повторением
|
||
$C^k_{(n)}=C^k_{n-k-1}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k}$
|