knowledge_vault/математика/Свойства Операций над множествами.md

Свойства операций над множествами

Коммутативность

• A\cup B=B\cup A
• A\cap B=B\cap A
• A\Delta B=B\Delta A

Ассоциативность

• (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)
• (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)
• (A\Delta B)\Delta C=A\Delta (B\Delta C)

Дистрибутивность

• A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
• A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)

Идемпотентность

• A\cup A=A
• A\cap A=A

Нейтральные элементы

• A\cup\varnothing=A
• A\cap U=A

Поглощение элемента

• A\cap\varnothing=\varnothing
• A\cup U=U

Закон двойственности

Действие остается верным если заменить \cap <=> \cup,U<=>\varnothing

• (A\cup B)\cap C<=>(A\cap B)\cup C

Закон де Моргана

• \overline{A\cup B}=\overline A\cap\overline B
• \overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B

Свойства разности

• A\cap\neg A=\varnothing
• A\cap\neg \varnothing=A
• \varnothing\cap\neg A=\varnothing
• A\cap\neg U=\varnothing
• U\cap\neg A=\neg A
• (A\cap\neg B)\cup(A\cap B)=A

Свойства симметрической разности

• A\Delta A=\varnothing
• A\Delta\varnothing=A
• A\Delta U=\neg A

Дополнение

• \overline{\overline {A}}=A
• A\cup\overline A=U
• A\cap\overline A=\varnothing