knowledge_vault/математика/Отношения частичного порядка.md

Это бинарное отношение на множество, которое формально описывает идею "упорядоченности", но не требует что бы любые два элемента были сравнимы между собой

X - множество (X=R;X=R^2;X={a,b,c,d,e}) На X - определили ОЧП: "$\leqslant$" (рефлексивность, транзитивность) A=[a,b]

1. Ограниченность - множество ограничено если \exists C\geqslant0:\forall x\in A,|x|\leqslant C
2. A^+ - множество мажорант: x\in A^+:\forall a\in A,x\leqslant a, наименьшая мажоранта = supA
3. A^- - множество минорант: x\in A^-:\forall a\in A,x\geqslant a, наибольшая миноранта = infA

Определения

• Определение maxA:\exists x:x\geqslant maxA=>x=maxA - нет элементов в A больше, чем maxA.
• Определение minA:\exists x\in A:x\leqslant minA=>x=minA - нет элементов в A меньше, чем minA.
• Если в A\exists наибольший элемент a наибольший, то supA=a наибольший, maxA=a наибольший.
• Если в A\exists наименьший элемент a наименьший, то infA=a наименьший, minA=a наименьший.
• Цепь = Q=\{(x, y)\in Q^2:\forall(x_1,y_1)(x_2,y_2)\in Q:(x_1,y_1)\leqslant(x_2,y_2)\vee(x_2,y_2)\leqslant(x_1,y_1)\}