knowledge_vault/дискретная математика/Теория графов.md

Граф - это совокупность множеств (V, E), где: V=\{u_1,u_2,...,u_n\} - непустое множество вершин E=\{e_1,e_2,...,e_n\} - множество ребер (дуг) каждое ребро e_k - это неупорядоченая пара различных вершин (u_i,u_j) множество E антирефлексивное симитричное отношение на множестве V.

Основные определения

Если основное отношение не симметричное, то есть E - множество упорядоченных пар. То G - ориентированный граф.

Если отношение не антирефлексивное, то есть E - множество пар не обязательно различных вершин, то G - псевдограф (граф с петлями).

Если E - мультимножество, то G - мультиграф.

Если каждое ребро (u_i,u_j) имеет числовую характеристику p(u_i,u_j) называемую длиной или весом ребра то G - взвешаный граф.

В более общем случае ребро может иметь набор атрибутов, тогда G - нагруженный граф.

Пусть e_k=(u_i,u_j), тогда: u_i,u_j - концы ребра e_k u_i и u_j смежны ребро e_k инциндентно вершинам u_i,u_j

Представление графов

1. Графический
2. Пересечение множеств
3. Матрица смежности. Это квадратный массив A размерности nxn. A=\{a_{i,j}\},a_{i,j}=\begin{cases}0,\ если\ (u_i,u_j)\not\in \\ 1\ если\ (u_i,u_j)\in\end{cases} свойства матрицы смежности:
   1. На главной диагонали - нули
   2. симметрична относительно главной диагонали
   3. Сумма числ в i строке равна сумме чисел в i столбце и равна $deg(u_i)$2
4. Матрица инцидентности. Это прямоугольный массив B размерности nxn. B=\{b_{i,j}\},b_{i,j}=\begin{cases}0,\ если\ ребро\ e_j\ не\ инциндентно\ u_i\\ 1\ если\ e_j\ инциндентно\ u_i\end{cases} Свойства матрицы инцидентности:
   1. Сумма чисел в i - строке равна deg(u_i)
   2. Сумма чисел а j - столбце равна 2
5. Списки смежности. Это одномерный массив C длины n, элементами которого являются списки. i - элемент массива содержит списков номеров вершин, смежных с вершиной u_i
6. \sum^n_{i=i}deg(u_i)=2m 7